√ Kumpulan Rumus Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung Beserta Contoh Soalnya

Ad1

Ad2

Persamaan Lingkaran - Rumus Terlengkap dan Contoh Soal beserta jawabannya

PEMUDABERSATU.COM - Persamaan Lingkaran memiliki beberapa pusat lingkaran dan jari-jari lingkaran, berikut ini akan saya jelasnya cara menghitung persamaan lingkaran dengan mudah, namun sebelum anda mempelajari persamaan lingkaran, silahkan pahami terlebih dahulu seputar lingkaran.

PERSAMAAN LINGKARAN DAN GARIS SINGGUNG

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada suatu bidang yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu dimana titik tertentu itu disebut pusat lingkaran. Sedangkan jari-jari lingkaran adalah jarak titik pada tepi (keliling) lingkaran terhadapat pusat lingkaran. Perhatikan gambar persaaman lingkarang disamping.

Keterangan :

P = Pusat lingkaran.
r = Jari-jari lingkaran.

Jenis Jenis Persamaan Lingkaran Yang Berpusat

Dibawah ini adalah rangkuman persamaan lingkaran dan rumus persamaan lingkaran sesuai dari pusat lingkarannya.

1. Persamaan lingkaran dengan pusat (0 0) dan jari-jari 3 adalah sebagai berikut

gambar Persamaan lingkaran dengan pusat (0 0) dan jari-jari 3

Rumus Persamaan lingkaran yang berpusat 0 0 adalah sebagai berikut

Rumus = x² + y² = r²

Sebagai contoh cara menyelesaikan persamaan lingkaran berpusat di 0 0 dan berjari-jari 3
Cara Menyelesaikan persamaan lingkaran dengan pusat 0 0 dan berjari-jari 3 menggunakan rumus :
Pusat (0, 0), jari-jari 3, maka persamaannya :
x² + y² = r²
x² + y² = 3²
x² + y² = 9
Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di 0 0 dan berjari-jari 3 adalah x² + y² = 9.

2. Persamaan lingkaran dengan berjari-jari r dan pusat (a b)

gambar Persamaan lingkaran dengan berjari-jari r dan pusat (a b)

Berkut ini rumus persamaan lingkaran dengan pusat a b adalah

Rumus (x - a)² + (y - b)² = r²

Sebagai contoh cara menentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (3 4) dan berjari jari 5 adalah dengan cara menyelesaikan dengan rumus persamaan lingkaran dengan pusat a b :
Pusat (4,3) dan jari-jari = 5 adalah a = 4, b = 3 dan r = 5.
Maka (x -a)² + (y - b)² = r²
(x - 4)² + (y - 3)² adalah 5².
(x - 4)² + (y - 3)² adalah 25
Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di (3 4) dan berjari-jari 5 adalah (x - 4)² +(y - 3)² = 25.

Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Berikut ini adalah Rumus Bentuk umum persamaan lingkaran

x² + y² + Ax + By + C = 0

$Pusat Lingkaran =(- \tfrac{1}{2}A, - \frac{\mathrm{1} }{\mathrm{2} }B )$

Sebagai contoh soal bentuk umum persamaan lingkaran , silahkan tentukan pusat lingkaran, jika persamaan lingkarannya x² + y² + 4x + 6y - 12 = 0.

Cara menyelesaikannya
Persamaan lingkaran x² + y² + 4x + 6y - 12 = 0.
Dari persamaan itu didapat A = 4, B = 6, C = -12
Maka menggunakan rumus :
$Pusat Lingkaran = ( -\tfrac{1}{2}A, -\tfrac{1}{2}B )$
$= ( -\tfrac{1}{2}4, -\tfrac{1}{2}6 )$
= (-2, -3)
Jadi pusat lingkarannya adalah (-2, -3).

Garis dan Lingkaran

Jika sebuah lingkaran mempunyai persamaan lingkaran.

x² + y² + Ax + By + C = 0

Dan sebuah garis mempunyai persamaan garis.

y = px + q

Maka apabila persamaan garis y = px + q disubstitusikan ke persamaan lingkaran :
x² + y² + Ax + By + C = 0 , akan didapat

→ x² + (px + q)² + Ax + B (px + q) + C = 0.
→ x² + (p² x² + 2pqx + q²) + Ax + Bpx + Bq + C = 0.
→ x² + p² x² + 2pqx + Ax + Bpx + q² + Bq + C = 0.
→ (1 + p²) x² + (2pq + A + Bp)x + q² + Bq + C = 0.
ATAU
→ (1 + p²) x² + (A + 2pq + Bp) x + q² + Bq + C = 0.

Misalkan :
(1 + p²) = a → koefisien didepan x²
(A +2pq + Bp) = b → koefisien didepan x
(q² + bq + C) = c → nilai konstanta.

Maka persamaan kuadrat yang disederhanakan menjadi :

ax² + bx + c

Nilai Diskriminannya adalah.

D = b² - 4 . a . c

Rumus Garis dan Lingkaran :

. Jika D > 0, itu berarti garis memotong lingkaran di dua titik.
. Jika D = 0, itu berarti garis menyinggung lingkaran.
. Jika D < 0, itu berarti garis tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran

Persamaan garis singgung lingkaran

Perhatikan kumpulan rumus persamaan garis singgung dibawah ini.

1. Jika persamaan lingkaran x² + y² = r² dan titik singgung (x1 , y1), maka rumus persamaan garis singgung lingkarannya adalah

x1 . x + y1 . y = r²

2. Jika persamaan lingkaran (x - a)² + (y - b)² = r² dan titik singgung (x1 , y1), maka rumus persamaan garis singgung lingkaran adalah.

Rumusnya (X1 - a) (x - a) + (Y1 - b) (y - b) = r²

3. Jika persamaan lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0 dan titik singgung (x1 . y1), maka rumus persamaan garis singgung lingkaran adalah.

Rumus X1 . x + Y1 y + 1/2 A (x + X1) + 1/2 . B (y + Y1) + C =0

Contoh Soal Persamaan Lingkaran Garis Singgung

Berikut ini adalah beberapa contoh soal persamaan lingkaran garis singgung
1. Diketahui lingkaran x² + y² - 4x + 2y + C = 0 melalui titik A (5, -1). Jari-jari lingkaran tersebut sama dengan..

Pembahasan
Persamaan lingkaran x² + y² - 4x + 2y + C = 0
Melalui titik A(5, -1)
5² + (-1)² -4(5) + 2(-1) + C = 0
adalah25 + 1 -20 - 2 + C = 0.
C + 4 = 0
C = -4.

Substitusikan C = 4 ke persamaan lingkaran
x² + y² - 4x + 2y - 4 = 0.
x² - 4x + y² + 2y = 4.
(x - 2)² + (y + 1)² = 4 + 4 + 1.
maka(x - 2)² + (y + 1)² = 9
Jadi, jari -jari lingkaran tersebut adalah 9

2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 4, jika titik singgungnya pada (5,6)

Pembahasan.
Persamaan lingkarannya x² + y² = 4 artinya r² = 4.
Titik singgungnya pada (5, 6) artinya x1 = 5, y1 = 6

Rumus x1 . x + y1 . y = r²
5x + 6y = 4
Jadi persamaan garis singgungny adalah 5x + 6y = 4

Itulah kumpulan Rumus persamaan lingkaran terlengkap berserta contoh soal persamaan lingkaran dan bentuk umum persamaan lingkaran.

Artikel Terkait :